ضریب همبستگی پیرسون

ترتیب با و نمایش می دهیم. در این آزمون، در صورتیکه n مشاهده داشته باشیم، ابتدا برای هریک از مشاهدات و ، ، را محاسبه می کنیم. سپس کمیت های زیر را محاسبه می کنیم:

حال فرض صفر و مقابل را به صورت زیر تعریف می کنیم:
فرض صفر: (نرمال بودن مشاهدات)
فرض مقابل: مخالف فرض صفر.
حال اگر مقدار بزرگ باشد، فرض را رد می کنیم. (آمار کاربردی جان نتر و همکاران، ترجمه علی عمیدی).
۳-۹-۲ضریب همبستگی اسپیرمن
در مباحث آماری نحوه همبستگی و ارتباط دو متغیر از اهمیت بسیاری برخوردار است. برای سنجش همبستگی ضرائب گوناگونی وجود دارد. در بعضی از تحقیقات بدست آوردن داده های فاصله ای ممکن نیست یا اگر هم ممکن باشد فاقد ویژگیهای لازم است. در این گونه مواقع می توان رتبه را جانشین عدد خام کرد. هرگاه داده ها بصورت رتبه ای جمع آوری شده باشند، می توان از همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن استفاده کرد.
فرض کنید n داده های زوجی را داریم. تفاضل زوج ها را محاسبه نموده و با ، ، نشان می‌دهیم. سپس با استفاده از فرمول زیر ضریب همبستگی اسپرمن را محاسبه می کنیم:

با استفاده از ضریب همبستگی اسپیرمن می توان فرض زیر را آزمون کرد:
“: میان متغیرها همبستگی وجود ندارد. ”
در برابر فرض
“: میان متغیرها همبستگی وجود دارد. “
برای آزمون فرض ، نیازی به فرض خاصی در مورد جامعه مورد نمونه گیری نیست. برای مقادیر بزرگ نمونه توزیع را می توان با توزیع نرمال تقریب زد که در این صورت آماره آزمون به کمک فرمول زیر محاسبه می شود.

تصمیم گیری
اگر فرض را در سطح خطای ۰۵/۰ رد می کنیم و در غیر اینصورت را می پذیریم.
۳-۹-۳ ضریب همبستگی پیرسون
ضریب همبستگی پیرسون که به نام های ضریب همبستگی گشتاوری ویا ضریب همبستگی مرتبه ی صفر نیز نامیده می شود، توسط سرکارل پیرسون معرفی شده است. این ضریب به منظور تعیین میزان رابطه، نوع و جهت رابطه ی بین دو متغیر فاصله ای یا نسبی و یا یک متغیر فاصله ای و یک متغیر نسبی به کار برده می شود. فرض کنید n داده های زوجی را داریم. ضریب همبستگی پیرسون را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه نمود.

این ضریب میزان همبستگی بین دو متغیر فاصله ای یا نسبی را محاسبه کرده مقدار آن بین ۱+ و ۱- می باشد اگر مقدار بدست آمده مثبت باشد به معنی این است که تغییرات دو متغیر به طور هم جهت اتفاق می افتد یعنی با افزایش در هر متغیر، متغیر دیگر نیز افزایش می یابد و برعکس. اگر مقدار r منفی شد یعنی اینکه دو متغیر در جهت عکس هم عمل می کنند یعنی با افزایش مقدار یک متغیر مقادیر متغیر دیگر کاهش می یابد و برعکس. اگر مقدار بدست آمده صفر شد نشان میدهد که هیچ رابطه ای بین دو متغیر وجود ندارد و اگر ۱+ شد همبستگی مثبت کامل و اگر ۱- شد همبستگی کامل و منفی است.
۳-۹-۴ رگرسیون خطی
رگرسیون روش آماری است که به بررسی ارتباط دو یا چند متغیر میپردازد که با استفاده از آن می توان یک متغیر را بر اساس یک یا چند متغیر دیـگر پیش بـینی نمود. حال در صورتیکه یک متغیر مستقل داشته باشیم با مدل رگرسیون خطی ساده و در صورتیکه بیش از یک متغیر متغیر مستقل داشته باشیم با مدل رگرسیون چندگانه مواجه می شویم.
الف) رگرسیون ساده
فرض کنید X یک متغیر مستقل، Y یک متغیر وابسته و e متغیر خطا باشد. معادله خط رگرسیون به صورت:

است که در آن پارامترنشان دهنده عرض از مبدا خط رگرسیونی و پارامتر نشان دهنده شیب خط است. در مدل رگرسیونی خطی ساده متغیر مستقل تحت کنترل است و تصادفی نیست در صورتی که متغیر وابسته تصادفی است. با استفاده از تحلیل رگرسیون می توانیم فرض وجود ارتباط بین دو متغیر مستقل و وابسته را آزمون کنیم. به منظور آزمون کردن فرض
“: مدل رگرسیون خطی برازش داده شده، معنی دار نیست ”
در برابر فرض
“: مدل رگرسیون خطی برازش داده شده، معنی دار است “
از جدول تجزیه واریانس استفاده می کنیم که به صورت زیر می باشد.

منبع تغییرات
مجموع مربعات
درجه آزادی
میانگین مربعات
آماره F
سطح معنی داری
رگرسیون
SSR
۱
MSR=SSR/1
MSR/MSE
P-Value
خطا
SSE
n-2
MSE=SSE/n-2

مجموع
SST
n-1

که در آن
، و است.
تصمیم گیری
اگر فرض را در سطح خطای ۰۵/۰ رد می کنیم و در غیر اینصورت را می پذیریم.
ب) رگرسیون چندگانه
مدل های رگرسیونی که شامل دو یا چند متغیر مستقل باشند به مدل های رگرسیون چندگانه معروفند. فرض کنید ، k متغیر تصادفی مستقل باشند و یک متغیرتصادفی وابسته باشد. رگرسیون خطی چندگانه میان این متغیرها به صورت زیر تعریف می شود:

که در آن عرض از مبدا و ضرایب رگرسیونی می باشند.
حال به منظور آزمون فرض
“: مدل رگرسیون خطی برازش داده شده، معنی دار نیست ”
در برابر فرض
“: مدل رگرسیون خطی برازش داده شده، معنی دار است “
از جدول تجزیه واریانس استفاده می کنیم که به صورت زیر می باشد.

Author: mitra4--javid

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *